После окончания с отличием Санкт-Петербургского педиатрического медицинского института К.М. Лебединский закончил клиническую ординатуру по специальности анестезиология-реаниматология. С 1994 г. работал ассистентом кафедры факультетской хирургии СПбГПМА. В 1997 году защитил кандидатскую диссертацию «Оценка риска резекции пищевода с одноэтапной внутригрудной эзофагогастропластикой», после чего работал доцентом кафедры анестезиологии и реаниматологии СПбГПМА до 2001 года. После защиты докторской диссертации (2000) «Контроль центральной гемодинамики как компонент анестезии» — профессор кафедры анестезиологии, реаниматологии и неотложной педиатрии СПбГПМУ. С 2002 года — заведующий кафедрой анестезиологии и реаниматологии им. В.Л. Ваневского СПб МАПО, затем — ФГБОУ ВО СЗГМУ им. И.И. Мечникова. С 2016 года — заместитель председателя Экспертного совета по хирургическим наукам ВАК Минобрнауки РФ, член Совета Европейского общества анестезиологии (ESA) от России, с 2017 года — Президент ФАР, член Совета Национальной медицинской палаты. Сфера научных и клинических интересов К.М. Лебединского — клиническая физиология и мониторинг кровообращения и дыхания, фармакология сердечно-сосудистой системы, оценка риска операции и анестезии, клиническая диагностика.