После окончания Ереванского медицинского института А.М. Есаян работал терапевтом в Чаренцаванской МСЧ, Армения, а затем младшим научным сотрудником, ассистентом кафедры терапии Ереванского ГИДУВа. В 1985 г. защитил кандидатскую, а в 1993 г — докторскую диссертацию в 1 ЛМИ им. И.П. Павлова. С 1990 года совмещал клиническую и научную деятельность в СПбГМУ им. акад. И.П. Павлова на кафедре пропедевтики внутренних болезней и НИИ нефрологии. С 2005 года Ашот Мовсесович заведует кафедрой нефрологии и диализа ФПО ПСПбГМУ им. акад. И.П. Павлова, с 2011 года — научный руководитель Центра трансплантации, нефрологии и диализа на базе ГКБ №31 Санкт-Петербурга. Ашот Мовсесович — автор более 150 научных публикаций, в том числе 4 монографий, 18 учебно-методических пособий, 5 патентов на изобретения. Член Правления Научного общества нефрологов России, член Правления (руководитель секции нефрологии) Евразийской ассоциации терапевтов, член Российского кардиологического общества, член Международного общества нефрологов, член Европейской ассоциации нефрологов, трансплантологов, врачей диализа, член Европейского общества кардиологов, Почетный член Общества врачей Армении. Член редколлегий журналов «Нефрология», «Эфферентная терапия».